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Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 2 - Funciones

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7.
b) Encontrar el cero y los conjuntos de positividad y de negatividad de $f(x)=-\frac{1}{2} x+3$

Respuesta

También vimos esto en el curso, es suuuuper fácil y lo vamos a usar muchísimo en esta materia. Es parte del estudio de funciones.

Para calcular el conjunto de ceros (también llamadas, raíces de la función), son los valores de $x$ en para los cuales la función vale cero, entonces para encontrarlos, tenemos que igualar la función a cero:

$f(x)=0$


$-\frac{1}{2} x+3=0$


$3=\frac{1}{2} x$


$3 \cdot 2 = x$


$6=x$


Por lo tanto, el conjunto de ceros será: $C^0 = \{ 6 \}$.


💡 Sí, las funciones lineales solo tienen una raíz, porque su gráfica es una recta. Gráficamente los ceros o raíces de una función son los valores de $x$ donde la gráfica corta al eje $x$. Y las funciones lineales, por lo tanto, cortan al eje $x$ solamente en un punto.


El conjunto de negatividad son los valores donde la función toma valores negativos $f(x)<0$, por el contrario el conjunto de positividad son los valores donde la función toma valores positivos $f(x)>0$. Gráficamente son los valores de $x$ donde la función está pasando por debajo del eje $x$ (conjunto de negatividad), o los valores de $x$ donde la función pasa por encima del eje $x$ (conjunto de positividad). 

Matemáticamente podés calcularlos así: 

$C^+ = f(x)>0$

$C^- = f(x)<0$


O bien, otra opción es mediante el análisis usando el Teorema de Bolzano, separando el dominio de la función (todos los reales) en dos intervalos separados justo por la raíz o cero de la función. En este caso nos quedaría: $(-\infty, 6)$ y $(6, + \infty)$. Luego simplemente evaluás cuánto vale la función para cualquier valor de $x$ dentro de cada intervalo:

Dentro del intervalo $(-\infty, 6)$, tomo cualquier valor de $x$ (yo voy a elegir el cero), entonces:
Para $x=0$ -> $f(0) = -\frac{1}{2} (0)+3 = 3$. Como 3 es un número positivo, puedo inferir que todo el intervalo $(-\infty, 6)$ es positivo. Por lo tanto pertenece al conjunto de positividad.


Y como ya dijimos que la función linal corta al eje $x$ solamente en un punto (su cero o raíz), si de $(-\infty, 6)$ la función está pasando por encima del eje $x$, quiere decir que en $x=6$ corta al eje $x$ y de $(6, + \infty)$ la función está pasando por debajo del eje $x$. Pero si no me creés hacemos las cuentas:

Dentro del intervalo $(6, + \infty)$, tomo cualquier valor de $x$ (yo voy a elegir 10), entonces:
Para $x=10$ -> $f(10) = -\frac{1}{2} (10)+3 = -2$. Como -2 es un número negativo, puedo inferir que todo el intervalo (6, + \infty)$ es negativo. Por lo tanto pertenece al conjunto de negatividad.



Por lo tanto, los conjuntos de positividad y negatividad serán: $C^+ = (-\infty, 6)$,  y  $C^- = (6, + \infty)$.


💡 El Teorema de Bolzano lo vamos a ver en detalle un poco más adelante. 

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Avatar Mallo 10 de septiembre 18:37
hola juli el conjunto de positividad y negatividad no lo podria sacar solamente con la ordenada al origen en este caso 3 y la raiz 6? no me quedaria igual?
Avatar Julieta Profesor 12 de septiembre 19:41
@Mallo Si vos lo pensás así, está suuuper bien!! Pero escribile en la hoja tu razonamiento, es super válido. Eso sí, nombrá a Bolazano cuando lo hagas jeje, porque ese razonamiento es literalmente la aplicación del teorema
Avatar Irina 8 de septiembre 12:04
Hola profe! Los conjuntos de positividad y negatividad de una función lineal también se podrían calcular con el valor de su pendiente, no?
Avatar Julieta Profesor 9 de septiembre 15:33
@Irina Hola! Teniendo en cuenta el signo de la pendiente (no te importa tanto su valor) vos sabés que si la pendiente es negativa la función decrece. Y como es una función lineal corta al eje $x$ una sola vez. Así que conociendo la raíz (valor de $x$ donde corta al eje $x$), ya te quedan definidos los dos conjuntos: conjunto de positividad (-inf; raíz) y conjunto de negatividad (raíz; +inf). 

Si la pendiente es positiva la función crece, entonces, a partir del mismo razonamiento te queda: 
conjunto de negatividad (-inf; raíz) y conjunto de positividad (raíz; +inf). 
Avatar 22 de abril 11:23
Hola!! COnsulta: Si en lugar de tanta cuenta hago la tablita y el grafico es igual? Porque de entrada lo hice asi y me dieron los mismos resultados. ¿Casualidad o regla?
Avatar Julieta Profesor 22 de abril 14:32
Es exactamente lo mismo :D
Avatar 23 de abril 16:50
Gracias IDOLA!!!!
Avatar Leo 20 de abril 01:40
Holaaa :D tengo una duda, aun no han explicado el teorema de bolsano asi que se me hace dificil calcular el conjunto de positividad y negatividad, entonces ¿Por ahora ese conjunto lo sacas a partir de tu conjunto de ceros? De antemano, muchas gracias <3  
Avatar Julieta Profesor 22 de abril 14:32
@Leo ¡Hola Leo! En parte lo que expliqué en este ejercicio es el Teorema de Bolzano jiji, pero sin mucha explicación, lo que tiene que quedarte en claro es el concepto, cuando avances más en los videos vamos a ver ese tema y te va a quedar clarísimo. Sí, usamos el conjunto de ceros y evaluamos la función a cada lado de un cero para saber si esta es positiva (pasa por encima del eje x) o negativa (pasa por debajo)
Avatar Leo 23 de abril 16:21
muchas gracias <3
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